哥德尔定理、民科及其他

哥德尔定理、民科及其他
杨益民
2023/05/26

近几天，龙冰兄在川大77级数学群连续转发了卢小云师兄在78621发表的“Gödel的不完备性定理（一 ―― 五）”。并推荐了几本关于哥德尔定理的专业数学书。坦白地说，我以前没有读过关于哥德尔定理的专著，估计读了也是云里雾里，到头还是老鼠落在大鼓上――扑通（不懂）（这里是四川话哈）。

由于龙冰兄的转载，今天川大77级数学群里另一位师兄转了一篇惊世妄文：“重磅！百年哥德尔定理被中国科学家推翻！数学界迎来巨震！”。

我们一般认为民科来自民间，其实博士和大学教授也可能是民科。民科不同于业余科学爱好者，他们之间最大区别是：民科都对自己不曾接受过基本专业训练的学科富有着狂热而近乎执拗的热情和“颠覆性独特臆想”，都认为自己推翻了某个世界著名的科学理论，或解决了某个科学专业几百年未曾解决的世界难题。而且以其毕生精力不懈地推销自己。

记得大学同窗赛时兄曾经说过，凡文章标题有惊叹号的，一定是忽悠，无一例外。那篇惊世妄文的标题居然有三个惊叹号。

文中还有这样一段话：“哥德尔的推导基本上是严格的，只犯了一个错误。这个错误是如此的隐蔽，以至于希尔伯特，爱因斯坦，冯诺依曼，图灵，以及近百年来的科学家都没看出来。 只有追到最后一步，才发现哥德尔的起点本来就是说谎者悖论。这样，百年哥德尔定理就被推翻了，数学界将迎来巨变。 ”

拜托！哥德尔定理的起点是说谎者悖论，只要读过关于哥德尔定理科普书籍的人都知道。希尔伯特，爱因斯坦，冯诺依曼，图灵，以及近百年来的科学家岂能不知？

标题三个惊叹号、一段没有起码常识的胡扯，再加上下面这段自吹自擂：“发起了‘哲学科学化，哲学家说人话’运动，解决了二律背反，乌鸦悖论，罗素悖论，说谎者悖论，停机悖论，休谟问题，盖梯尔问题，忒修斯之船等一系列哲学问题，重塑了逻辑系统和认识论。 ‍‍”

尽管这个作者自称是清华博士，世界著名通讯专家，但他绝对不能自证他不是一个哥德尔定理民科。

哥德尔将说谎者悖论中“这句话是假的”改为“这句话不能被证明”。需要指出的是“真”和“能被证明”并不相等，同样“假”和“不能被证明”也不相等。

哥德尔证明了在皮亚诺公设内可以说出“这句话不能被证明”。任何一个公设系统若能说出“这句话不能被证明”，则此系统若非不一致，就是不完备。

自哥德尔证明了不完备性定理，和Paris和Harrington找到组合学Ramsey理论中的一个命题，它是真的，但无法用皮亚诺公设证明，以及其后其他学者陆续发现的许多类似的命题之后，数学家们知道：他们也许有信心说：“被证明了的就是真的”（实际上由不完备性定理可知这个信心也是无法证明的），但他们再也无法说：“真的一定会被证明”。

哥德尔不完备性定理，分为两个部分：

第一不完备性定理：任何一个足够强的一致公设系统，皆是不完备的。

第二不完备性定理：任何一个足够强的一致公设系统，皆无法证明自身的一致性。

爱因斯坦说：“欧几里得原本是逻辑体系的奇迹，……，推理这种令人惊叹的胜利，使人类的理智为今后的成就获得了信心。”

二十世纪数学界的亚历山大希尔伯特更是充满信心的宣称：“我们必须知道，我们必将知道！”自然须交出它的所有问题，而人类必会将所有问题一一解决。

呜呼悲哉！如今哥德尔定理告诉我们，有些事情是真的，但我们无法证明它。这是对数学和人类理性局限性的巨大挑战和甚至否定吗？

其实我们不必对数学悲观，数学的发展一直都伴随着一一次次的数学危机。哥德尔定理的出现不是数学真理性的终结宣言。对于任何一个命题，如果既不能证明其真，也找不出反例时，或许就该去证明“此命题无法被证明为真（或为假）”。以往数学家只有两条路：证明命题为真（或假），如今哥德尔为数学家多提供了另外两条路――即证明不能证明命题是真（或假）。

数学中有各种公理化系统，各种不可能性定理，以及各种悖论和危机。数学一直就是在无数的矛盾冲突，否定之否定中不断深入发展的。

人类发展史也类似，当今世界有许多尚无法解决的问题，有各式各样的危机，社会制度之争，冲突与战争、能源危机、环境危机、人口危机，……。

佛郎西斯·福山发表了《历史的终结及最后之人》，信心满满地坚信西方民主制度是“人类社会形态进步的终点”，自由民主制度将作为唯一合理的政治制度，在人类历史上最终实现，构成“历史的终结”。

塞缪尔·亨廷顿的《文明的冲突与世界秩序的重建》却指出，后冷战时代世界的暴力冲突不可避免，只不过不再起因于国家间的意识形态差异，而是来自于主要文明之间的差异。

这两部书似乎为都在为人类新世纪指明方向。世界历史的终结是实现西方式的自由民主制度，而在实现这一人类最高理想的历史进程中，文明冲突在所难免。

“911”、反恐战争，如今的美中对立和俄乌战争属于哪种冲突呢？

数学广泛应用于自然科学、工程技术和经济学，其实数学也应用于政治学研究。对于西方自由民主制度的研究中，在关于美国众议员席位公平分配和各种选举制度的优劣，以及投票系统权力指数度量的研究中，也出现了各种各样的数学政治悖论。也有两个著名的不可能性定理。

一、Balinsky & Young 席位公平分配的不可能性定理  该定理给出了公平的席位分配必须满足的十分合理的五条公理：

公理1（席位单调性公理）当州数和各州人口比例不变时，总席位的增加，应该使各州分配的议员名额数不减。

公理2（人口单调性公理）当州数和议员席位总数不变时，各州人口有所变化，不应该导致分配份额增加的州失去席位。

公理3（无偏性公理）在整个时间轴上平均，每个州应接受到它自己的按人口比例分配的份额。

公理4（公平分摊性公理）任何州分得的席位都不应该偏离其分配份额。               

公理5（接近份额性）没有从一个州到另一个州的席位转让会使得这两个州都同时接近于它们应得的分配份额。

但该定理证明了以上五条公理的互不相容，即：完全公正合理的席位分配方法根本不存在！

二、Arrow公平选举的不可能性定理 该不可能性定理也给出了公平选举必须满足的十分合理的五条公理：

公理1（选举的自由民主性）选民对候选人的任何一种排序都是允许的。

公理2（选举规则与选民投票的正相关性）如果进行两次投票，在第二次选举投票时，若在所有选民心目中对候选人x的相对地位没有改变，甚至有所提高，则在第二次选举结果中x对其他候选人的优先性不应改变。

公理3（无关候选人的独立性）对两个候选人的优劣排序，只取决于选民对他们的相对排序，而与其他候选人之间的相对位置无关。

公理4（选民的主权性）如果无论选民怎样投票，即使所有选民都认为x比y好，选举规则也不能判决x比y好，那么这样的选举规则不尊重选民的一致愿望（主权）。这种选举规则就应该淘汰。

公理5（选民的非独裁性）不允许操纵选举的独裁者存在。

但Arrow公平选举的不可能性定理证明了：当选民数大于2，候选人数大于等于2时，不存在满足Arrow公理1~5的选举方法。

Balinsky & Yang席位公平分配的不可能性定理和Arrow公平选举的不可能性定理说明：西方的自由民主制度也非百分之百合理。

虽然，这使得西方理想主义者们的美好愿望破灭。但这些理论研究成果却已广泛应用于其它领域，同时也使人们从理论上对西方自由民主制度有了更深入的理解。无论从社会发展历史和这些相关理论研究的角度看，民主制度并不完美。或许正如丘吉尔所言：民主制度是迄今为止人类历史上最不坏的制度。

从数学控制系统论的角度看：言论自由、公民选举权、三权分立、独立媒体监督、从国家、州政府到郡县层层的分权控制。这是一个闭环反馈控制自由调节系统。

这种系统当受到干扰影响与期望出现偏差时，控制主体将根据偏差反馈信息，自动调节控制，纠正偏差，抵消干扰的作用，使整个系统达到较高的稳定性。这或许是对自由民主制度纠错机制的一个合理数学说明。

从美国的建国史，可以看到美国的社会制度经过许多著名政治家、科学家、数学家、经济学家、社会学家、律师等的认真严格论证。是美国共和制、联邦制、民主制、分权与制衡原则结合的产物，也是多种利益间相互妥协与协调的结果。总之，它似乎是美国人理性的选择。

这个说法或许没错。但是不见有人提及，民主制度的具体实行过程，所依赖的并不是人类理性，而恰恰在于人类的感性。所有的公投和选举，诉诸的永远更多的是人类的直觉和感性，而非人类的理性。

因为，毋庸置疑，人类的学识见解，理性分析能力等分三六九等，特别是讲到科学、经济和政治问题更是如此。但是，如果天赋人权是每个人不可剥夺的同等的权利。那么一个流浪汉与各个领域的专家，以及显贵们一样有同等的自由意志。他投出的一票，也和这些显赫的人物一样重要。

而且如果将选举完全交给所谓的社会精英，谁能保证精英们会秉公投票？谁能保证精英集团不为自己的利益而吞噬大众的利益？不一人一票，哪里还能体现“天赋人权”？何谈人人都享有的平等的选举权力？因此，虽然民主选举制度或许是理性的选择，但民主选举制度的具体操作和实行，却更多地依赖社会大众的直觉与感性。

从此角度看，人类的感性比起理性具有意义更深远的“自由意志”。自由平等是人类与生俱来的不可剥夺的权利，人类的直觉和感性才是的自由平等的本源。

实际上，民主选举一方面是一种理性的、程序化的、人人基本平等（绝对平等不存在）的选举制度。

另一方面芸芸众生基于个人的生存状态（物质生活和精神生活）的直觉与感性体验，投出反映个人自由意志的、或左或右或弃权的神圣一票。

这种通过社会大众表面上的直觉和感性的“自由无序”投票，对民众感性或“心”的依赖，体现了主权在民的思想。民众感觉现政府太过“左”，下次就选“右”的；反之亦然。最后由大多数民众的自由意志来决定谁更适合当选。

执政者的一项关键任务，是恰当地调节效率与公平。效率与公平永远是矛盾的，问题的关键是寻找一个平衡点。这很难，不是偏左，就是偏右。普通民众通过日常生活的切身感受，觉得太平均了，反而导致物质生活和精神生活质量的整体下降，就选注重效率的党。反之就选注重公平的党。

大众的这种选择并非基于理性分析，更多的是基于个人的生存状态的感性体验。民主制度可能正是通过这种对民众感性或“心”的依赖，具有了很强的纠错机制。因此，这种制度暗含一种从表面感性无序，而达到制度内部动态有序稳定的良好纠偏机制。

当然，从另一个角度看，民主制度对民众直觉和感性或“心”的依赖，也有一个致命的弱点：由于乌合之众的从众心理，媒体的反复抹黑与推波助澜，两党的相互制肘攻讦，以及群体和有组织的团体之间的“感情传染”的强大的暗示作用，于是初期些微的偏激的非理性行为，就可能随着各种因素的推波助澜而越演越烈。导致整个族群的撕裂和一段时期的社会动荡。

这种对民众直觉和感性或“心”的依赖，在人工智能、大数据网络时代，可能会使上述问题更为突出。因为，本质上讲，人类感觉的基础表面上看是人类的所谓的直觉和灵感，但本质上是大脑里无数神经元，利用所获信息不自觉权衡推算后的结果，换言之感性也不过是生化程序或生物算法。

人类之所以有自由意志，其根基在于任何其他人都无法看到和操控人类的内心。但当生物技术革命与信息技术革命相融合，在超级人工智能时代，统治者或精英们可以通过人工智能和大数据分析，实施无孔不入的监控，可以通过铺天盖地的媒体宣传和抹黑，巧妙地引导和操纵我们的内心感受。这样自由意志就可能会大打折扣，情感也可能很容易被操纵利用，乌合之众心理可能会形成与固化，理性与感性两者均可能都丧失，最终成为统治者或精英们的玩偶而不自知。

随着生物技术、信息技术、人工智能、大数据地不断进步，要操控人类最深沉的情绪和欲望会变得越来越简单。于是，“跟着直觉和感觉走”会越来越危险。需要时刻提醒自己，如果想为自己的存在与人生的未来保留一点控制权，就得始终抱有质疑的精神，不断学习独立思考，争取别让舆论、算法、以及政府操控你的思想。

当然，更可怕的是利用人工智能和大数据算法对人民实施全面的监控与控制。

哥德尔确定了定理证明、计算、人工智能、逻辑、数学本身，以及人类理性的基本局限性，对20世纪的科学、哲学和社会科学产生了巨大的影响，是现代理论计算机科学和人工智能理论之父。

人们应当如何面对没有证明的事情呢？对于这样的问题，既无法接受，也无法否定，人类该如何抉择呢？还相信什么呢？这样数学问题就又变成了永恒的哲学问题，甚至宗教问题。

在人工智能时代，我们时时刻刻都站在惊得合不上嘴的边缘。

明天什么人间奇迹都可能发生。作为这个时代的莹莹众生，无知的坎井之蛙，只有莫名惊奇、惊讶、惊异、惊诧、眼珠蹦蹬和叹息而已。

最后，说个笑话：“鬼”存在吗？我们无法证明其存在，也无法证明其不存在。甚至我们也无法证明“不能证明鬼存在（或不存在）”。俗语云：“只有鬼知道。”所以，大概我们只有一条路可走，那就是“你死了就明白鬼是否存在了！”这样数学与哲学问题又变成了神学问题了。

本来是说哥德尔民科，说着说着就走远了。不过瞎思无罪，民科无理！这就是发神经与民科的区别。😂 😅

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